√2 = 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2+......))
無限の連分数は、次の式で書くことができます。√2 = [1;(2)] 、これは(2) が無限に繰り返されることをしめします。おなじように√23 = [4;(1,3,1,8)]と示すことができます。
平方根の連分数の一部によって、よい有利近似値が提供できます。√2 について考えてみます。
1 + 1/2 = 3/2
1 + 1/(2 + 1/2) = 7/5
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2))= 17/12
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2)))= 41/29
このように、√2 を近似分数で書いたときに、数列の最初の10項は以下のようになります。
1, 3/2 , 7/5 , 17/12 , 41/29 , 99/70 , 239/169 , 577 / 408 , 1393 / 985 , 3363 / 2378 , ...
もっとも驚くべきことに、数学的に重要な定数 e は 以下の式で書くことができます。
e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, ... , 1, 2k, 1, ...].
e を近似分数で書いたときに、数列の最初の10項は以下のようになります。
2 , 3 , 8/3 , 11/4 , 19/7 , 87/32 , 106/39 , 193/71 , 1264/465 , 1457/536 , ...$
e を連分数で書いた時の10番目の分子の合計は 1 + 4 + 5 + 7 = 17 です。
e を連分数で書いた時に、100番目の分子の桁の合計はいくつか。